Разделы сайта
Выбор редакции:
- Кбк усн доходы минус расходы клерк
- Как испечь высокий пышный бисквит
- Пирог с клубникой в домашних условиях – простые и вкусные рецепты
- Морковный пирог — лучший рецепт с фото пошагово
- Рецепт: Колбаски из баранины с зеленью - Колбаски из баранины с зеленью и курдючным жиром Домашняя колбаса из баранины в кишках рецепт
- Печенье "мазурка" с грецкими орехами и изюмом Ингредиенты для крема
- Готовим лазанью с фаршем
- Калорийность скумбрии запеченной в фольге в духовке Скумбрия в духовке калорийность на 100 грамм
- Маш в мультиварке Приготовление маша в мультиварке
- Варим повидло из красной смородины на зиму – рецепт приготовления смородинового повидла в домашних условиях
Реклама
Множество первообразных функции. Первообразная функции. Основное свойство первообразной. Правила вычисления интегралов для чайников |
Цель:
Математический анализ - совокупность разделов математики, посвященных исследованию функций и их обобщений методами дифференциального и интегрального исчислений. Если до настоящего времени мы изучали раздел математического анализа, называемого диффренциальным исчислением, суть которого заключается в изучении функции в “малом”. Т.е. исследование функции в достаточно малых окрестностях каждой точки определения. Одна из операций дифференцирования- нахождение производной (дифференциала) и применении к исследованию функций. Не менее важной является обратная задача. Если известно поведение функции в окрестностях каждой точки ее определения, то как восстановить функцию в целом, т.е. во всей области ее определения. Эта задача составляет предмет изучения так называемого интегрального исчисления. Интегрированием называется действие обратное дифференцированию. Или восстановление функции f(х) по данной производной f`(х). Латинское слово “integro” означает – восстановление. Пример №1 . Пусть (х)`=3х 2 . Решение: Опираясь на правило дифференцирования, нетрудно догадаться, что f(х)=х 3 , ибо (х 3)`=3х 2 Т.к.производная каждой из них равно 3х 2 . (Производная постоянной равна 0). Все эти функции отличаются друг от друга постоянным слагаемым. Поэтому общее решение задачи можно записать в виде f(х)= х 3 +С, где С - любое постоянное действительное число. Любую из найденных функций f(х) называют ПЕРВООБРАЗНОЙ для функции F`(х)= 3х 2 Определение.
Функция F(х) называется первообразной для функции
f(х) на заданном промежутке J, если для всех х из этого промежутка F`(х)= f(х). Так функция F(х)=х 3 первообразная для f(х)=3х 2 на (- ∞
; ∞). Как мы уже заметили, данная функция имеет бесконечное множество первообразных (смотри пример № 1). Пример № 2.
Функция F(х)=х есть первообразная для всех f(х)= 1/х на
промежутке (0; +), т.к. для всех х из этого промежутка, выполняется равенство. Пример № 3.
Функция F(х)=tg3х есть первообразная для f(х)=3/cos3х на
промежутке (-п/2;
п/2), Пример № 4.
Функция F(х)=3sin4х+1/х-2 первообразная для f(х)=12cos4х-1/х 2
на промежутке (0;∞) Лекция 2. Тема: Первообразная. Основное свойство первообразной функции. При изучении первообразной будем опираться на следующее утверждение. Признак постоянства функции: Если на промежутке J производная Ψ(х) функции равна 0, то на этом промежутке функция Ψ(х) постоянна. Это утверждение можно продемонстрировать геометрически. Известно, что Ψ`(х)=tgα, γде α-угол наклона касательной к графику функции Ψ(х) в точке с абсциссой х 0 . Если Ψ`(υ)=0 в любой точке промежутка J, то tgα=0 δля любой касательной к графику функции Ψ(х). Это означает, что касательная к графику функции в любой его точке параллельна оси абсцисс. Поэтому на указанном промежутке график функции Ψ(х) совпадает с отрезком прямой у=С. Итак, функция f(х)=с постоянна на промежутке J, если f`(х)=0 на этом промежутке. Действительно, для произвольного х 1 и х 2 из промежутка
J по теореме о среднем значении функции можно записать: Теорема: (Основное свойство первообразной функции) Если F(х) одна из первообразных для функции f(х) на промежутке J, то множество всех первообразных этой функции имеет вид: F(х)+С, где С - любое действительное число. Доказательство: Пусть F`(х) = f (х), тогда (F(х)+С)`= F`(х)+С`= f (х), для х Є J. Пример: Найти множество первообразных функции f (х) = cos х. Изобразить графики первых трех. Решение:
Sin х - одна из первообразных для функции f (х) = cos х F 1 (х) = Sin х-1 Геометрическая иллюстрация: График любой первообразной F(х)+С можно получить из графика первообразной F(х) при помощи параллельного переноса r (0;с). Пример: Для функции f (х) = 2х найти первообразную, график которой проходит через т.М (1;4) Решение:
F(х)=х 2 +С – множество всех первообразных, F(1)=4 - по условию задачи.
Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x) , что выполняется равенство для любогох из заданного промежутка. Если принять во внимание тот факт, что производная от константы С равна нулю, то справедливо равенство. Таким образом, функция f(x) имеет множество первообразных F(x)+C , для произвольной константы С , причем эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину. Определение неопределенного интеграла. Все множество первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается . Выражение называютподынтегральным выражением , а f(x) – подынтегральной функцией . Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f(x) . Действие нахождения неизвестной функции по заданному ее дифференциалу называется неопределенным интегрированием, потому что результатом интегрирования является не одна функция F(x) , а множество ее первообразных F(x)+C . Геометрический смысл неопределенного интеграла. График первообразной Д(х) называют интегральной кривой. В системе координат х0у графики всех первообразных от данной функции представляют семейство кривых, зависящих от величины постоянной С и получаемых одна из другой путем параллельного сдвига вдоль оси 0у. Для примера, рассмотренного выше, имеем: J 2 х^х = х2 + C. Семейство первообразных (х + С) геометрически интерпретируется совокупностью парабол. Если из семейства первообразных нужно найти одну, то задают дополнительные условия, позволяющие определить постоянную С. Обычно с этой целью задают начальные условия: при значении аргумента х = х0 функция имеет значение Д(х0) = у0. Пример. Требуется найти ту из первообразных функции у = 2 х, которая принимает значение 3 при х0 = 1. Искомая первообразная: Д(х) = х2 + 2. Решение. ^2х^х = х2 + C; 12 + С = 3; С = 2. 2. Основные свойства неопределенного интеграла1. Производная неопределенного интеграла равна подинтегральной функции: 2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подинтегральному выражению: 3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме самой этой функции и произвольной постоянной: 4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: 5. Интеграл суммы (разности) равен сумме (разности) интегралов: 6. Свойство является комбинацией свойств 4 и 5: 7. Свойство инвариантности неопределенного интеграла: Если , то 8. Свойство: Если , то Фактически данное свойство представляет собой частный случай интегрирования при помощи метода замены переменной, который более подробно рассмотрен в следующем разделе. Рассмотрим пример: 3. Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием . При сведении данного интеграла к табличному часто используются следующие преобразования дифференциала (операция «подведения под знак дифференциала »): Вообще, f’(u)du = d(f(u)). эта (формула очень часто используется при вычислении интегралов. Найти интеграл Решение. Воспользуемся свойствами интегралаи приведем данный интеграл к нескольким табличным. 4. Интегрирование методом подстановки. Суть метода заключается в том, что мы вводим новую переменную, выражаем подынтегральную функцию через эту переменную, в результате приходим к табличному (или более простому) виду интеграла. Очень часто метод подстановки выручает при интегрировании тригонометрических функций и функций с радикалами. Пример. Найти неопределенный интеграл . Решение. Введем новую переменную . Выразимх через z : Выполняем подстановку полученных выражений в исходный интеграл: Из таблицы первообразных имеем . Осталось вернуться к исходной переменной х : Ответ: Первообразная. Первообразную легко понять на примере. Возьмем функцию у = х 3 . Как мы знаем из предыдущих разделов, производной от х 3 является 3х 2: (х 3)" = 3х 2 . Следовательно, из функции у = х
3 мы получаем новую функцию: у
= 3х
2 . То есть: функция у = х 3 является первообразной для функции у = 3х 2 . Определение первообразной: В нашем примере (х 3)" = 3х 2 , следовательно у = х 3 – первообразная для у = 3х 2 . Интегрирование. Как вы знаете, процесс нахождения производной по заданной функции называется дифференцированием. А обратная операция называется интегрированием. Пример-пояснение : у = 3х 2 + sin x . Решение : Мы знаем, что первообразной для 3х 2 является х 3 . Первообразной для sin x является –cos x . Складываем два первообразных и получаем первообразную для заданной функции: у = х 3 + (–cos x ), у = х 3 – cos x . Ответ
: Пример-пояснение : Найдем первообразную для функции у = 2 sin x . Решение : Замечаем, что k = 2. Первообразной для sin x является –cos x . Следовательно, для функции у
= 2 sin x
первообразной является функция у
= –2 cos x
. Пример-пояснение : Найдем первообразную для функции y = sin 2x . Решение : Замечаем, что k = 2. Первообразной для sin x является –cos x . Применяем нашу формулу при нахождении первообразной для функции y = cos 2x : 1 cos 2x
cos 2x
Пример-пояснение . Возьмем функцию из предыдущего примера: y = sin 2x . Для этой функции все первообразные имеют вид: cos 2x
Пояснение . Возьмем первую строчку. Читается она так: если функция y = f(x )равна 0, то первообразной для для нее является 1. Почему? Потому что производная единицы равна нулю: 1" = 0. В таком же порядке читаются и остальные строчки. Как выписывать данные из таблицы? Возьмем восьмую строчку: (-cos x )" = sin x Пишем вторую часть со знаком производной, затем знак равенства и производную. Читаем: первообразной для функции sin x является функция -cos x . Или: функция -cos x является первообразной для функции sin x . Решение интегралов - задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл... Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы? Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись. Изучаем понятие "интеграл"Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц , но суть вещей не изменилась. Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Сведения о , необходимые и для понимания интегралов, уже есть у нас в блоге. Неопределенный интегралПусть у нас есть какая-то функция f(x) .
Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как читайте в нашей статье. Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием. Простой пример: Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями. Полная таблица интегралов для студентов Определенный интегралИмея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых. В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции. Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции? С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:
Бари Алибасов и группа "Интеграл" Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на Правила вычисления интегралов для чайниковСвойства неопределенного интегралаКак решать неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.
Свойства определенного интеграла
Мы уже выяснили, что определенный интеграл - это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница: Примеры решения интеграловНиже рассмотрим несколько примеров нахождения неопределенных интегралов. Предлагаем самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях. Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Обратитесь в профессиональный сервис для студентов, и любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.
|
Читайте: |
---|
Популярное:
Финансовый гороскоп для Крысы |
Новое
- Как испечь высокий пышный бисквит
- Пирог с клубникой в домашних условиях – простые и вкусные рецепты
- Морковный пирог — лучший рецепт с фото пошагово
- Рецепт: Колбаски из баранины с зеленью - Колбаски из баранины с зеленью и курдючным жиром Домашняя колбаса из баранины в кишках рецепт
- Печенье "мазурка" с грецкими орехами и изюмом Ингредиенты для крема
- Готовим лазанью с фаршем
- Калорийность скумбрии запеченной в фольге в духовке Скумбрия в духовке калорийность на 100 грамм
- Маш в мультиварке Приготовление маша в мультиварке
- Варим повидло из красной смородины на зиму – рецепт приготовления смородинового повидла в домашних условиях
- К чему сильно чешется правое или левое запястье